matif

Nama:meidiana dwi andyni
Kelas: 2IA14
Npm: 55413407
Matematika informatika

1.       Jika  2 + 4 + 6 + .... + 2n = n(n+1), apakah terbukti benar jika n = 1…
Jawaban              : Benar
Penjelasan          :
n = 1,         maka 2      = 1(1 +1)
= 1 . 2
= 2 (terbukti benar untuk n = 1)
2.       Apakah N3 + 2n adalah kelipatan 3 berlaku untuk n = 1 dan berlaku kelipatan 3 untuk setiap bilangan bulat postitif n (menggunakan induksi matematika)…?
Jawaban              : Ya dan ya
Penjelasan          :
q Basis untuk n = 1 akan diperoleh :
13 + 2(1) = 3 yg merupakan kelipatan 3 (ya, berlaku n=1)

q Induksi misalkan untuk n = k asumsikan k 3 + 2k = 3x

q Adib untuk n = k + 1 berlaku
(k + 1)3 + 2(k + 1) adalah kelipatan 3
(k 3 + 3k 2 + 3 k+1) + 2k + 2
(k 3 + 2k) + (3k 2 + 3k + 3)
(k 3 + 2k) + 3 (k 2 + k + 1)

Induksi
3x + 3 (k 2 + k + 1)
3 (x + k 2 + k + 1)

Kesimpulan        : N 3 + 2n adalah kelipatan 3 untuk setiap bilangan bulat positif n (ya berlaku kelipatan 3).
3.       Misalkan p(n) benar untuk semua bilangan positif n ≥ 1  untuk bilangan 2 + 4 + 6 + ... + 2n = n (n + 1). Apakah p(n +1) bernilai benar…?
Jawaban              : Benar

Penjelasan          :
Buktikan bahwa p(n +1) benar, maka:
n = n + 1
2 + 4 + 6 + ...  +  2n = n (n + 1)
2 + 4 + 6 + ...  + 2n + 2 (n +1)            = n + 1 (n + 1 + 1)
2n + 2n + 2      = (n + 1) (n + 2)
2n + 2n + 2      = n (n + 1) + 2n + 2
= n2 + n + 2n + 2
= n2 + 3n + 2
= (n + 1) (n + 2) Terbukti Benar
4.       Buktikan “Jumlah bilangan bulat positif dari 1 sampai n adalah n(n + 1)/2”!
Jawaban              :
Langkah I             : Buktikan bahwa P(1) benar
                                                P(1)        = 1(1 + 1)/2         = 1 ………. Terbukti
Langkah II            : Buktikan bahwa jika P(n) benar, maka P(n+1) juga benar
                                                P(n+1)                                = 1 + 2 + 3 + … + n + (n+1)
                                                (n+1)((n+1) +1)/2              = P(n) + (n+1)
                                                (n+1)(n+2)/2                      = n(n+1)/2 + 2(n+1)/2
                                                (n+1)(n+2)/2                      = (n+2)(n+1)/2 ……. Terbukti
5.       Gunakan induksi matematika untuk membuktikan bahwa jumlah n buah bilangan ganjil positif pertama adalah n2.
Penyelesaian     :
(i) Basis induksi                 :
Untuk n = 1, jumlah satu buah bilangan ganjil positif pertama adalah 12 = 1. Ini benar karena jumlah satu buah bilangan ganjil positif pertama adalah 1.
(ii) Langkah induksi          : Andaikan p(n) benar, yaitu pernyataan
1 + 3 + 5 + … + (2n – 1) = n2
adalah benar (hipotesis induksi) [catatlah bahwa bilangan ganjil positif ke-n adalah (2n – 1)]. Kita harus memperlihatkan bahwa p(n +1) juga benar, yaitu
1 + 3 + 5 + … + (2n – 1) + (2n + 1) = (n + 1)2
juga benar. Hal ini dapat kita tunjukkan sebagai berikut:
 1 + 3 + 5 + … + (2n – 1) + (2n + 1) = [1 + 3 + 5 + … +
  (2n – 1)] + (2n + 1)
= n2 + (2n + 1)
= n2 + 2n + 1
                                                            = (n + 1)2

Karena langkah basis dan langkah induksi keduanya telah diperlihatkan benar, maka jumlah n buah bilangan ganjil positif pertama adalah n2.